１×２×３×・・・・×100の積は１の位から何個０が続きますか。
という問題はよく基本として使われますが、ここからまたいろいろな発展があります。ただ基本の考え方を単に覚えているのではなく、なぜそうなるのか、ということを理解しておかなければ、考えを発展させることはできません。
2012年の筑駒の問題です。
1からaまでの連続した整数をかけて数をつくります。このようにしてつくった数について、一の位から連続して並ぶ0の個数を、記号（a）で表します。
例えば、１×２×３×４＝24 なので （４）の数値は0
１×２×３×４×５＝120 なので （５）の数値は1です。
次の問いに答えなさい。
（1） （10）、（15）の数値をそれぞれ答えなさい。
（2）（0）の数値にならない整数があります。それらのうち小さい方から2つ答えなさい。
（3） （1）、（2）、（3）、……、（125）の数値の合計を求めなさい。
（解説と解答）
１×２×３×・・・の積で１の位から０が何個続くか、という問題は数の性質のパターン問題でしょう。
０というのは10倍されてでてくるので10を素数分解すると２×５ で偶数はたくさんありますから、５が出てくるタイミングで0が１個でてくることになります。
５で１、10で２ 15で３ 20で４なのですが25は５×５なので次は６になります。まあ、これが（２）のヒントになるでしょう。
したがって（１）の解答は
（１）（10）の数値…２ （15）の数値…３
ということになります。
（２）は５がないことがわかるので、25の倍数を気をつけてみることにしましょう。
30が７、35が８、40が９ 45が10 次が50でこれがまた２つ増えるので12
ということは11がないことがわかります。したがって答えは
（２）５、11
ということになるでしょう。
（３）は分類が必要でしょう。
１～４までは０
５～９までは１ １×５＝５
10～14までは２ ２×５＝10
15～19までは３ ３×５＝15
ということになります。125まで考えてみるわけですが、まず飛ばされる数を特定します。
25の倍数で飛ぶことはわかっていますから、
５がなく、11がない。次は75のときです。
50が12 55が13、60が14、65が15、70が16 75が２つ増えて18 次に飛ぶのは17です。
５、11、17となりますから、等差数列で次にないのは23、
これが100の場面で（100）＝24になります。
ここで気をつけておかないといけない。125＝５×５×５ですから、（125）は３つ増えます。
次にないのは29ですが、30もないのです。
125を素数分解すると125÷５＝25 125÷25＝５ 125÷125＝１ですから
（125）＝25＋５＋１＝31ですね。
そうなると和については全部足したあと、出てこない数分を引けばよいという発想になります。
（１＋２＋３＋・・・・・＋28）×５－（５＋11＋17＋23）×５＋31となりますから
（１＋28）×28÷２×５－56×５＋31＝2030－280＋31＝1781が答えになります。
（3）1781
ひとつの考え方を発展させる、良い例と言えるでしょう。
