2010年の開成の問題です。
となる△と□の組をすべて求めなさい。ただし□は△以上であるとします。また解答欄をすべて用いるとはかぎりません。
A＋B＝Cという等式があるとしましょう。これをABCの公倍数で割ると条件の式になることがわかります。
例えば２＋３＝５でこれを60で割ると
2/60＋3/60＝5/60 ですから、これを約分すると1/30＋1/20＝1/12 でひとつの例ができあがることがわかるでしょう。
これはその場で思いつくというものではないかと思います。何回か、似たような問題が過去に出たことがありますが、ひとつ知っておくといろいろ応用がきくかもしれません。
で解答は以下のようになります。
できあがる分数の和の分母が12ですから、左式の数は12の約数でなければいけません。
12の約数は１、２、３、４、６、12の６つです。
これを組み合わせていきますが、例えば１＋２と２＋４は同じになります。
１＋２＝３ → 1/36＋1/18＝1/12 （36で割る。）
２＋４＝６ → 1/36＋1/18＝1/12 （72で割る。）
したがってその組み合わせは
１＋１＝２ → 1/24＋1/24＝1/12
１＋２＝３ → 1/36＋1/18＝1/12
１＋３＝４ → 1/48＋1/16＝1/12
１＋４＝５ → 1/60＋1/15＝1/12
１＋６＝７ → 1/84＋1/14＝1/12
１＋12＝13 → 1/156＋1/13＝1/12
２＋３＝５ → 1/30＋1/20＝1/12
３＋４＝７ → 1/28＋1/21＝1/12
したがって
（24、24）（18、36）（16、48）（15、60）（14、84）（13、156）（20、30）（21、28）の８組になります。
